GRE数学|不能让GRE330毁在眼神上

在上周，小编给大家提供了一些GRE写作中的成语使用方法：、  

今天给大家讲一讲关于GRE数学的排列方式！

排列permutation(国内也译为arrangement)是GRE数学四个部分中最后一个部分Data Analysis的一个基础而重要的知识点。

不论你是初次接触国际和GRE的数学，还是从高中起就学习IB或SAT数学走过来的，你都可以明显地感受到在GRE数学中，DataAnalysis这一部分的难度对比前三部分Arithmetic,Algebra和Geometry是有很大提升的。

而本文要讲的permutation，不仅本身可能出现较难的题目，更是后边组合combination和概率probability等重要知识点的基础。

本文以乘法原则MultiplicationPrinciple为基础，先引入阶乘factorial的概念，最后带你理解permutation的含义，并且会见识到部分难题的套路。

1. 乘法原则Multiplication Principle

If an event contains step 1 & step 2which are both independent, and there are k choices included in step 1 and m instep 2, then k×m approachesaltogether will be available.

解析：理解乘法原则的要点一是要理解事件的2个步骤是“有且仅有的”，二是要理解独立independent的意思，即该步骤发生哪种结果是不受其他步骤的影响的，比如扔两枚硬币，第一枚的正反与第二枚的正反是无关的。例题可以参考GRE OG第277页，此处略。

2. 阶乘Factorial

Definition: The order of n subjects placed sequentially is called a factorial or a full permutation of the subjects.

3 persons standing in a queue4 persons standing in a queuen persons standing in a queue

ABC,BAC,CAB

ACB,BCA,CBA4×3×2×1

=24n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)

=n!

解析：

1) factorial是permutation的一种特殊情况;

2) 3个实验对象subjects排队的时候可以用穷举法把所有情况列举出来。而4个人的时候比较多，可以类比乘法原则：排在队伍第一个的人的选择有4种，排在第二的选择还剩下3种，之后为2和1种。注意，由order和sequentially可知，此时几个steps之间并不是独立的关系，因此每个step的选择的数量考虑了上一个step的影响;

3) 由特殊到一般，n个对象排队的排列数可以推导如表所示。将这一长串相乘的数字规定为’n!’ (read as ‘n factorial’)。比如4个人排队的排列数就可以列为4的阶乘即4!。

3. 排列Permutation

Definition: The order of n subjectstaken k at a time sequentially is called a permutation of the subjects.

4 persons standing in a queue (of 4)4 persons standing in a queue (of 2)n persons standing in a queue (of k)

4!=244×3=12n(n-1)(n-2)…(n-k+1)

=nPk or Pkn or P(n,k)

解析：

1) Permutation和factorial的区别在于前者只有一部分对象参与排队，而后者是所有的对象都参与排队(因此也叫full permutation)。4个人排队可以理解为4个人排(4个位置的)队，这属于factorial or full permutation,而4个人排2个位置的队则是一般形式的permutation;

2) 由特殊到一般，n个人排k个位置的队的k个步骤分别是：第一个位置有n种，第二个位置有n-1…第k个位置有n-(k-1)种。对于这一长串相乘的数字规定为nPk(表格里另外两张写法也有，另外国内一般规定为Akn，GRE数学以第一个为准)。当k=n时，即有nPn=n!;

3) nPk的计算可以理解作从n开始数k个数字为止相乘的结果，如8P3=8×7×6=336。

Test 1) How many different four-digit codescan be formed using the digits 0 to 9 if none of the digits can occur more thanonce? (GRE OG例题)

解题思路：four-digitcodes表示密码是有且仅有4位的，和permutation定义中的步骤是一个概念，而0~9这10个数字均仅能用1次，与参与排列的总对象n是一个概念，故可列式为：

10P4=10×9×8×7=5040

以上为一道典型的permutation的题目。然而，有时候题目的难度并不止于此。第二道题目提醒单身狗要做好心理准备，因为你不仅要接受难题的洗礼，还要被喂狗粮。

Test 2) 5 persons are queuing to wait forthe subway, including a pair of lovers who don’t want to separate with each other. How many different queues may represent?

解题思路：对于被限定条件绑在一起的对象(手动滑稽)，整体看成1个可以单独参与排列的对象，并且增加一个步骤表示这个整体内部的全排列，公式可列为：

4P4×2P2=24×2=48

以上方法可以简称为打包法，可以解决同类型的许多题目。之后的另一种类型题目给单身狗平复一下情绪，使用的是另一种方法，请同学们自行思考。

Test 3) 5 persons are queuing to wait forthe subway, including a pair of former lovers who don’t want to standwith each other. How many different queues may represent?