新SAT考试数学详解

“最为必要的数学”，根据CB的解释，是指“集中于对大学和职业的准备和成功最为重要的数学，即在大学课程和职业环境中可以证明是最为有用的数学”。CB如此选择，是因为“对学生而言，相比于试图在很大的数学专题范围内掌握宽泛的知识，只将某些内容知道清楚更加有助于适用范围较大的准备工作。”

关于“丰富地应用”，CB认为，“数学的概念、技能和实践是学生在大学课程、职业训练和职业机会中能够进步的前提和中心”。并且指出，“考试涵盖所有数学实践，并且强调问题解决、建模、有策略地使用合适的工具，以及寻找并利用做代数的结构”。

“现实世界的情况和问题”导致了新SAT数学部分与现行SAT数学部分的一个显著区别，即有更多题目将问题情境取材于现实生活，并且不可避免地导致题目呈现上文字长度和难度的增加。这一点，可以通过对比新旧官方指南中的题目而明显感知。

基于以上的基本认识，本文如下从数学知识、数学能力、题目呈现等三个角度，对新SAT的数学部分进行简要分析。

一、数学知识：

对照现行SAT，新SAT考查的数学知识有三个明显特征：

1. 强调代数的核心位置：

CB认为，“代数是高中数学很多内容的语言，并且是高等数学和高等教育很多学科的先修要求”，代数的核心涉及分析、求解和创建一次方程、不等式或方程。代数的学科基础性和学习必要性使得新SAT的数学部分强调了代数学的核心。因此，“代数核心”作为与“问题解决与数据分析”、“高等数学预备”、“附加课题”并列的领域之一，在题目数量上占有大致三分之一的份额。

2. 扩大考查的知识范围：

复数和三角函数是被排除在现行SAT数学部分的考查知识范围之外的，而在新SAT中，这两项作为“附加课题”的内容被纳入考查范围。新OG中这两项内容的考查难度不高，仅限于基本运算或基本结论。例如，复数部分考查了形如(a+bi)+(c+di)的加法和形如(a+bi)/(c+di)的除法【Test 2 Section 3 #11】;三角函数部分的考查涉及诸如sinA=cos(90º-A)的基本结论【Test 3 Section 4 #23】。

3. 增大数据分析的比重：

数据分析作为“问题解决与数据分析”领域的组成部分，在新SAT中被赋予更大的比重。虽然新OG题目中涉及的统计图表(柱状图、折线图、散点图、二维表等)在旧OG或现行SAT题目中出现过，但是新OG题目显示出了对二维表和散点图的偏爱。二维表中数字的个数和量值可以比较多和大【Test 1 Section 4 #22-23】，散点图可以与最佳拟合线、变量的相关关系、变量的拟合模型等概念结合，这些为命题人留出了很大的发挥空间【Test 2 Section 4 #20】【Test 1 Section 4 #5】。

二、数学能力：

1. 计算

新OG中的题目对考生的计算能力提出了较高的要求。计算内容上，数的运算之外，考生也需要熟练进行整式的加、减、乘、除运算。此外，计算量和时间限制之间的矛盾，也是考生需要面对的一个重要挑战，尤其是在不可使用计算器的Section3。为了化解这个矛盾，考生一方面需要提高计算操作的熟练程度，一方面也需要基于观察、推理等，根据题目特征简化计算过程。后者的“取巧”倾向，实际上是继承了现行SAT数学部分的风格，但是在新SAT数学部分，这需要考生对题目内容有更深的理解和更强的敏感，而节省下来的时间，则可以认为是对这种深理解和强敏感的奖励。感兴趣的读者可以尝试新OG Test 2中Section 3的第9题和Section 4的第28题【Test 2 Section 3 #9】【Test 2 Section 4 #28】。

2. 推理

在新SAT数学题目中，恰当的推理除了可以帮助减少计算量，也是部分题目所必须。事实上，推理是数学活动的重要部分。CB指出：“考试涵盖所有数学实践，并且强调问题解决、建模、有策略地使用合适的工具，以及寻找并利用代数的结构”。其中提到的问题解决、建模、有策略地使用工具、寻找并利用代数结构等，皆需要推理过程的支撑。此外，在现行SAT和新SAT中，都有逻辑推理的题目，前者侧重于命题(例如，命题的等价和反例的特征)，后者侧重于因果关系的确立，例如新OG Chapter 20 Example 15和Test 3 Section 4的第15题。【P262 Example 15】【Test 2 Section 3 #11】

3. 建模

模型是连接在现实世界和数学理论之间的桥梁。由于新SAT的数学部分中面向现实世界的题目比重的增加，模型作为一种方法或工具，其重要性得到突显。在这样的背景下，方程、不等式、函数的形式，以及其中的常量或变量具有了现实意义。新OG中，有的题目问及这些常量或变量的实际含义【Test 3 Section 3 #1】【Test 4 Section4 #37】，有的题目则涉及方程、不等式、函数的形式与现实问题特征之间的联系【Test 3 Section 3 #15】【Test 4 Section 4 #20】，也有的题目根据给定的模型进行相应运算，计算数值【Test 2 Section 4 #37-38】或等式变形【Test 1 Section 3 #7】。虽然现行SAT数学部分中也有函数表示模型的题目，但是题目大多只需要代入变量进行运算即可，几乎不需要从模型的角度对函数进行把握。

三、题目呈现：

1. 单词数量：

新SAT数学题目的文字长度明显大于现行SAT数学题目。以新OG Test 1和旧OG Test 1的对比为例。新OG Test 1数学每道题目题干平均单词数在45左右，最长的可以达到100;而旧OG Test 1数学部分每道题目题干部分的平均单词数则不到30，长度超过50个单词的题目整套最多一两道而已。

2. 文字难度

文字难度的衡量，我们借用阅读中量化测量文本复杂性的方式，对数学题的题干进行了Flesch-Kincaid Grade Level的测试。简单的说，如果这个level的数值是9.6，大致表明这段文字比较适合9-10年级的学生理解。数值越高，对应越高的年级。

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