助攻满分数学|GRE之集合攻略

在数学考试中，有很大的比例的考题会涉及到数据分析的内容(data analysis)。而在这类问题中涉及集合的问题又是我们考生受到训练较少的题型。

我们首先来看下set集合这一个概念。A set is simply a group of two or more numbers or other terms. 一组数或者一些其他符号构成一个集合，在这个集合里这些数或者符号被称为element(元素)。

如果S是一个有限数量的集合，那么|S|被定义为元素的数目。例如S={2,3,4,5,6}，那么|S|=4，尽管这个集合里面有5个元素，但是里面有2个重复的元素，因此|S|为4而不是5。

随后关于集合的问题，学生需要了解集合之间的关系。Union，并集，是指两个或多个集合中共有的元素的集合。那么对于两个集合A与B来说，union of A and B可以用符号：A∪B。另一个集合间的关系是交集，intersection。还是一样，我们拿两个集合A和B来看，intersection of A and B为：A∩B。在交集中，又有一个比较特殊例外，如果两个集合的交集为0，即A∩B=∅，则把这两个集合的关系成为disjoint or mutually exclusive。

对于集合中的定义就是以上这些，那么对于常见的GRE数学中的问题会涉及到什么呢?主要是关于集合数量的计算。这里可以给各位同学回忆下最早我们接触过的一个解题方法，Venn diagram，韦恩图。或许这个名称大家不熟悉，但当我说出以下的例子后，相信大家都会回忆起来。

Of the 410students at Xinhua High School, 240 study Spanish and 180 study French. If 25students study neither language, how many study both?

大家对这个例子是不是很熟悉呢?相信许多同学看完这道题就会恍然大悟，这不是我们很早时候接触的题目么?

让我们再来回忆下，先前老师的讲解方法。我们用封闭的圆来代表每个科目，一个圆来表示学习Spanish的学生人数，另一个圆来表示学习French的学生人数。那么两圆相交的区域即为两门语言课程都学习的学生。我们可以把这个人数值设为x。随后根据题目的条件我们可以列出下列等式：240-x+180-x+x = 410-25。得出x=35，因此两门语言都学习的学生人数为35。

那么集合是否可以用来计算这类问题呢?我们可以注意到学生的人数这个点与集合的集合元素数有所关联，并且对于集合的元素数的计算也是有着公式存在|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，是对于两个集合而言;对于三个集合而言|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|，因此对于上述题目，两门语言都学习的学生人数即为|A∩B|。所以我们可以得到|A∩B|=240+180-(410-25)=35。

上述的对比中，我们可以看出集合的计算有着更为简便的优势。下一个例子，我们来看看集合的运算在三个集合上的优势。

Studentswill choose to study three courses, Mathematic, English and Chinese. 35 studyMathematic, 30 study Chinese, 32 study English. If 20 students study bothMathematic and Chinese, 15 study both English and Chinese, 22 study bothMathematic and English, and 8 students study all three. And every student studyat least one course, how many students in this class?

这里我们将运用集合的运算来解决上述例题。问题问的是该班总共有多少学生，那么对应的就是问的值。因此，|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|，即|A∪B∪C|=35+30+32-20-15-22+8=48。如果应用Venn diagram来处理的话，则需要应用3个圆的图来解决，相应的难度则比2圆图大很多。

本次对于数学中的集合问题的分析到此结束，希望同学们能够熟练掌握集合的计算来回答相应的问题。

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